Кеннет Р. Фостер,
Пенсильванский Университет.

Математика в Интернете.

Эволюция математического языка разметки и выпуск дополнений к ведущему программному обеспечению побуждают Всемирную сеть к обмену вычислениями.

     Инженерная математика, по всей видимости, мало изменилась с тех пор, когда компьютеры пришли на смену логарифмическим линейкам – однако математические программы продолжают совершенствоваться, подгоняемые быстрым развитием компьютеров и конкуренцией среди поставщиков ПО.
     В этом году наиболее интересными разработками стали новые способы публикации в Сети документов, содержащих математические формулы и последовавшие за этим изменения в математических программах. Эти разработки, очевидно, имеют значение для инженерных и научных обществ, а также всех тех, кто публикует большое количество технической литературы и все больше использует электронные публикации.

Пути решения проблемы.

     Сеть - это огромная доска объявлений. Все в большей и большей степени она становится средством для коммерции, и одновременно наиболее предпочтительным способом публикации материалов всех видов, включая и технические документы, содержащие математику. Наряду со вспомогательными программами, основные математические пакеты ПО играют важную роль в сетевых публикациях технического содержания.
     Подавляющее большинство документов в Сети представлено в формате HTML (Hypertext Markup Language - язык разметки гипертекста), который использует символы ASCII как знаки для обозначения формата, к примеру, отступов строк или спецсимволов. В него можно включать изображения, связывая с документом графические файлы. Журнал IEEE Spectrum, к примеру, в электронном виде распространяется именно в такой форме.
К сожалению, HTML не подходит для публикации многих технических документов, т.к. он не способен форматировать математические выражения с их специальными обозначениями, наподобие знаков интегрирования. Здесь у пользователя имеется две основные альтернативы, и ни одну из них нельзя считать полностью удовлетворительной.
     Одна из них состоит в том, чтобы форматировать текст в HTML и вставлять математические выражения как файлы с изображениями в документ HTML. Биофизическое общество в Бетезде (Bethesda), штат Мэриленд, и определенное число других научных организаций распространяют свои журналы в электронном виде именно этим способом.
     Данный подход привлекателен для индивидуальных пользователей с небольшими потребностями. Благодаря наличию у общеупотребимых текстовых процессоров возможности экспортировать документы в формат HTML, создание необходимых для этого файлов не представляет труда. Эта возможность была включена либо сильно расширена в последних версиях нескольких серьезных математических пакетов, таких как Mathcad версии 8 от MathSoft Inc.; Maple версия 5.1 от Waterloo Maple Inc.; Mathematica от Wolfram Research Inc.; и Macsyma от Macsyma Inc. Каждая из этих программ может выдать HTML - файлы, включающие математические выражения и графику – при помощи нескольких щелчков мыши. Обычно результат такой операции не выглядит так же красиво, как исходный документ.
     Второй метод – публиковать информацию в виде печатаного документа, как правило, в переносимом формате фирмы Adobe (Adobe Portable Document Format, PDF). Этот способ сейчас используется IEEE. Эти файлы могут быть созданы сканированием бумажных документов или при использовании специальных драйверов печати в системе Windows. Размеры файлов могут быть очень большими, в особенности, если в документе широко используется цвет, и обычно пользователь должен скачать весь файл, прежде чем иметь возможность просматривать его части.
     Для примера, один файл с математическими данными, созданный автором в Maple, занимает 22 Кб на жестком диске компьютера. Девять страниц этого файла в формате Adobe PDF занимают 57 Кб. Экспортирование файла в HTML дает 82 файла, в сумме занимающих объем 75 Кб, и почти весь он состоит из мелких графических файлов с формулами. Для сравнения, девятистраничный документ в Microsoft Word с математическими выражениями и графикой запросто может потребовать мегабайт для хранения.
     Вполне понятно, что если каждый год должно распространяться большое количество текста, насыщенного математическими выражениями (только IEEE в 1997 году опубликовало 330 000 страниц технических трудов), то размеры файлов, также как стоимость усилий по их подготовке, становятся очень важны. Форматирование математических текстов для Сети пока остается одним из основных камней преткновения для IEEE и других профессиональных обществ.      Отдельных пользователей обычно больше беспокоит удобство написания и просмотра файлов, нежели их размеры, а оба приведенных подхода могут быть усовершенствованы.
     Было сделано несколько попыток удовлетворить эти потребности, но ни одна из них пока не получила широкого признания. Одна из идей – публиковать документы на языке типографского набора, давно используемом математиками, так называемый TeX, или, как его вариант, LaTeX. Такие файлы достаточно малы и могут быть быстро пересланы пользователю. Мой документ, созданный в Maple, экспортированный в TeX, занимает меньше 30 Кб. Много издателей (включая IEEE) уже используют TeX для форматирования математических текстов.
     Однако, этот метод не прижился. Пользователи, не сильно связанные с техникой, предпочитают полагаться на коммерческие текстовые процессоры, а для просмотра документов TeX существует очень мало браузеров. Одним исключением является Techexplorer Hypermedia Browser от IBM Corp, который сейчас существует для платформ Windows 95, Windows NT и UNIX. Тем не менее, он поддерживает TeX только частично.

Введение в MathML (Mathematical Markup Language, математический язык разметки).

     Третий, альтернативный метод сейчас только зарождается: расширение HTML с добавлением в него возможности форматировать формулы. В апреле 1998 года Консорциум WWW (World Wide Web Consortium - W3C) выпустил список рекомендаций на математический язык разметки, MathML, который основан на Расширяемом языке разметки (Extensible Markup Language, XML), преемнике HTML. MathML использует комплексный массив меток для форматирования математических выражений, передаваемых через Сеть почти с той же эффективностью, что и текст.
     Это создало новый подход к публикациям в Сети технических материалов. Очень вероятно, что будущие версии ведущих математических программ будут способны экспортировать документы в MathML так же, как сейчас они экспортируют в HTML. Компания Wolfram Research  откликнулась первой. Она планирует включить поддержку MathML в четвертую версию Mathematica, которая выйдет в ближайшее время. Другие поставщики ПО несомненно последуют за ней.
Таким образом, открывается рынок для редакторов и браузеров MathML. Среди первых редакторов – Amaya (в своей последней версии выпущена в январе 1999 W3C) и EzMath.
     Пока что в Netscape Communicator и Internet Explorer не внедрены эти разработки (некоторые эксперты предполагают, что MathML постигнет та же участь в отношении использования для сетевых публикаций, что TeX и LaTeX, пока эти браузеры не станут его поддерживать, и что сейчас нет достаточных экономических предпосылок для скорого появления подобной поддержки). Но поставщики ПО начинают предлагать дополнения к браузерам, которые удовлетворяют эту потребность. В последней версии дополнение к Techexplorer Hypermedia Browser от IBM Corp. предлагает недокументированную “экспериментальную поддержку” MathML.
     При наличии стандарта W3C MathML может преуспеть в отличие от TeX и LaTeX, и стать повсеместно поддерживаемым форматом для публикаций математических документов в мировой Сети (или даже на бумаге).
     Предполагая это, Design Science Inc. из Long Beach, Калифорния, разработчик MathType (www.mathtype.com), объявила, что возможности MathML будут включены в следующую версию их программы. MathType - это коммерческий редактор формул, который широко используется программой Microsoft Word и рядом других текстовых процессоров. Это будет достаточно простым поводом дать коммерческим текстовым процессорам возможность импортировать и экспортировать файлы в MathML.
     Мерой растущего признания MathML является недавнее объявление Американским Бюро по патентам и торговым маркам (U.S. Patent and Trademark Office) о том, что с начала текущего года новые патенты будут переведены в документы на Станадартном Обобщенном Языке Разметки (Standard Generalized Markup Language, SGML) для электронного распространения. Подрядчик, подготавливающий эти материалы для патентного бюро, будет использовать пакет Mathematica, чтобы создать MathML-файлы для распространения в Сети и типографского набора математических формул.
     Стандартный формат для математических выражений позволит легко осуществлять обмен выкладками между различными приложениями. Скоро может придти день, когда пользователи смогут копировать математические выражения из Web-страниц или файлов текстовых процессоров и вставлять их в математические программы в качестве расчетных формул, и наоборот.

«Живая» математика в Сети.

     Простейшая форма публикаций в Сети подразумевает размещение документов на Web-узлах. Это эффективный способ распространения информации. Однако (также, как и при традиционной публикации), пользователь остается пассивным приемником информации. Но Сеть имеет дополнительные возможности для интерактивной связи, которые превосходят аналогичные черты традиционных способов публикации. Математическое программное обеспечение развивается в сторону использования этих новых возможностей.
     Один шаг в этом направлении был сделан компанией MathSoft, Кембридж, штат Массачусеттс, разработчиком популярной математической программы MathCad, включением в свою программу ссылок на “collaboratory” – узел Сети с группой новостей, где пользователи могут читать, размещать и отвечать на сообщения от других пользователей, и скачивать файлы, предоставляемые друг другом.
Waterloo Maple Inc., Waterloo, штат Онтарио, Канада, продвинулось в реализации интерактивности на шаг дальше в последней версии своей программы, Maple 5.1. С программой Maple Explorer, дополнением к Maple, включающим IBM Techexplorer, пользователь может просматривать файлы Maple при помощи Internet Explorer или Netscape. Щелчок мыши на формуле в браузере приводит к запуску копии Maple 5.1, запущенной на компьютере пользователя. Пользователь при желании может повторить расчет с различными параметрами. Wolfram Research, разработчик Mathematica, планирует летом выпустить похожий продукт, называемый Publicon.
     Как иной подход к интерактивным расчетам в Интернете, MathWorks Inc., Natick, штат Массачусеттс, открыла свой собственный Web-сервер. Пользователи могут вводить данные в форму на Web-странице, и посылать их на сервер. Сервер передает их в пакет Matlab и посылает результаты назад пользователю в различных формах. Это новое применение старой идеи об удаленных расчетах. Данный способ мог бы быть очень полезен компании, которая хочет сделать результаты своих расчетов доступными клиентам, которые могут не иметь лицензии на Matlab. Все, что нужно клиенту, это доступ в Интернет.
     Похожим образом Wolfram Research разместила так называемый "интегрирующий" узел на www.integrals.com. Когда пользователь вводит выражение, Mathematica, запущенная на сервере, проинтегрирует его и отошлет назад ответ. 

Рис.1
"Интегрирующий" сайт.

Этот узел - простая демонстрация возможностей Mathematica - привлек почти 50 000 посетителей в январе 1999. Wolfram Research, несомненно, помогает большому числу студентов справляться с их расчетными домашними заданиями. 
     Следуя укоренившемуся пути, разработчики математического программного обеспечения выпускают новые версии и обновления к своим продуктам каждые год-два. Большинство из нижеупомянутых продуктов предназначены для Windows 3.1/95/98, некоторые из них также и для других платформ.
Четвертая версия Mathematica, которая в данный момент находится в состоянии бета тестирования, имеет много усовершенствований в функциях и интерфейсе пользователя.

Рис.2
Четвертая версия Mathematica

     Прежде всего, она гораздо быстрее выполняет большие численные вычисления. В дополнение, пользователям стало легче задавать области определения переменных, что сильно улучшает способность Mathematica упрощать выражения. (Например, сообщение программе, что x положителен, позволяет ей упростить корень из x2 до x).
MathWorks только что выпустила Matlab Version 5.3 Release 11. Они заявляют о новом редакторе графиков, так же как и о способности выдачи результата в формате HTML.

Рис.3
MathLab v.5.3 Release 11

 Simulink - добавление к Matlab, предназначенное для моделирования систем - появится в версии 3, являющейся серьезным усовершенствованием системы. Новое ПО от MathWorks включает Matlab Report Generator (создатель отчетов Matlab) и Simulink Report Generator (создатель отчетов Simulink), которые позволяет пользователю создавать подробные отчеты в формате HTML и других форматах, из результатов работы Matlab и Simulink. Так же нововведением является панель инструментов, обеспечивающая пользователям работу с базами данных.
     Прошлой осенью вышла восьмая версия MathCAD от MathSoft, так же почитаемого математического пакета. Продукт имеет много общих усовершенствований, включая улучшенную поддержку связывания и внедрения объектов (OLE), расширенную трехмерную графику, улучшенную разметку страницы и более тесную связь с Сетью. Также много новых математических функций, особенно в профессиональной версии. В соответствии с общим ныне правилом MathCAD имеет встроенную возможность экспортировать в формат HTML.
     Недавно выпущенный Maple 5.1 теперь может использовать Сеть для соединения страниц Maple с другими подобными страницами, используя URL - (Universal Resource Locator - Универсальные Адреса Ресурсов). Он также способен экспортировать данные в формат TeX или HTML, и имеет многочисленные улучшения в своих математических возможностях и интерфейсе пользователя.
     Вышеупомянутые продукты в большинстве своем - обширные программы, предназначенные для широкого круга задач, а не узконаправленные, для студентов колледжей и профессионалов. Но область программ для образования также активно развивалась последний год. Выдающимся примером является StudyWorks, недавно обновленная фирмой MathSoft. Программа представляет собой интегрированную среду для обучения, ориентированную на науку уровня ВУЗов и на студентов-математиков. Она напоминает MathCAD, содержащий вместо сложной математики более общую, а также научную информацию для студентов.
     Soft Warehouse Inc, Гонолулу, Гавайи, объявил о выходе весной 1999 года мощного обновления для своей программы символьной математики Derive,  которая не только эффективно работает на медленных компьютерах, но также проще в использовании, чем большинство ведущих математических пакетов ПО.
     Для редактора электронных таблиц Microsoft Excel независимыми разработчиками был создан ряд программ-дополнений, расширяющих его математические возможности. К примеру, Interval Solver (www.delisoft.fi/index.html) от Delisoft Ltd., Хельсинки, Финляндия, является дополнением к Excel, которое позволяет производить решения задач на интервалах, в том числе систем уравнений и неравенств. Numerical Algorithms Group Ltd., Оксфорд, Англия, недавно выпустила набор из 51 статистических модулей для Excel (exweb.nag.com/stats/ae/ae.html). Datatrend Software из Raleigh, N.C. (Ралей, Новая Каролина) создала Grab It! (www.datatrendsoftware.com), который позволяет пользователю импортировать графические файлы и передавать данные из них в таблицу Excel просто щелчками мыши на изображении. Приятно!

Недостатки прогресса

     В связи со способом продажи программного обеспечения для персональных компьютеров, разработчики часто  вынуждены выпускать новые версии созданных ими продуктов просто для поддержания объемов дохода. Подобная ситуация, наряду с устрашающей сложностью этих программ и операционной системы Windows, привела к серьезным проблемам контроля качества, которые могли бы вызвать скандал, появись они в других отраслях производства. Для пользователей смысл этого ясен – кто рано встает, того удача ждет. Они могут решить воздержаться от покупки принципиально новых версий программ до того момента, пока разработчик не разместит в Сети хотя бы одну заплатку (именно для исправления ошибок).
     Схожая проблема – «обманные версии» (vaporware) – до сих пор существует у крупных разработчиков. К примеру, в сентябре 1998 года автор заказал последнюю версию известной программы для научной графики в ответ на почтовую рекламу, а получил бета-версию. К ней прилагалось предупреждение избегать использовать программу для «производственных целей» - пользователю попросту предлагалось не особо верить результатам ее работы. (К середине марта 1999 до сих пор не пришла финальная версия).
     Конфиденциальность тоже больной вопрос. Когда пользователь открывает меню помощи в последней версии одного из ведущих математических пакетов, программа без предварительного предупреждения выходит в Интернет. Это действие может быть совершенно безобидным (программа использует Internet Explorer для своей системы помощи), но оно вызывает вопрос о конфиденциальности – кто знает, какая утечка информации может произойти с компьютера пользователя? Программа могла хотя бы спросить разрешения на соединение.

Эволюция – куда она приведет?

     В сравнении с журналистом на выставке автомобилей критик программного обеспечения, просматривающий подборку последних обновлений, занимается более интересным делом, так как мир программ расширяется намного быстрее, чем мир автомобилей. Но в обоих случаях нелегко предсказать, насколько нововведения будут полезны потребителям.
     Так же как и в случае большинства коммерческих программ, развитие математического ПО в большой степени состоит из добавления новых функций. Пользователи могут воспринимать их как важные усовершенствования, либо просто как разрастание программы.
     Но математическое ПО к тому же развивается с целью удовлетворить потребности, которые выходят далеко за пределы математических, в частности необходимость связать технические идеи с их математическим содержанием, включая запись математики для людей с ослабленным зрением. Многие из обсуждаемых программ имеют расширенные возможности для публикации материалов, и среди них способность наборного кодирования формул (использование TeX или LaTeX) и многие функции продвинутых текстовых процессоров.
     Сходная с этим возможность - преобразование математических документов в HTML - уже приобрела ценность для индивидуальных пользователей и организаций при публикации технических материалов в Сети. MathML предоставит даже большие преимущества для электронной публикации, если станет широко употребимым.
     Но Сеть предоставляет средства для интерактивной связи, которые только-только начали использоваться математическим ПО. Они включают возможность интерактивных расчетов во Всемирной Сети, размещение «живых» математических документов на ее узлах, создание «виртуальных коллективов» инженеров. Математические программы уже развиваются в этих направлениях. Кто знает, куда это приведет...

Для дальнейшего ознакомления

Для более полной информации о MathML, который позволяет форматирование математических выражений в документах Сети, см. http://www.w3.org/Math. MathML - это результат работы большой группы, в которой сопредседателями являются Патрик Ион (Patrick Ion) из Американского Математического общества (American Mathematical Society), которое выпускает Mathematical Reviews, и Анжел Диас (Angel Diaz) из Исследовательского Отдела IBM (также см. www.w3.org/Math/#Working Group).

Для информации о двух редакторах MathML см. www.w3.org/Amaya и www.w3.org/People/Raggett/EzMath.

Недокументированная, так называемая экспериментальная поддержка подмножества MathML доступна на www.software.ibm.com/enetwork/techexplorer.

Для более полного ознакомления с MathType, коммерческом редакторе формул, используемом в Microsoft Word, см. www.mathtype.com. 

Узел Wolfram Research Inc. на www.integrals.com демонстрирует интегрирование через Сеть.

О надстройке для Excel, которая решает системы уравнений и неравенств, см. www.delisoft.fi/index.html. Средство для импортирования графических файлов и передачи данных в таблицу Excel простыми щелчками мыши на изображении см. www.datatrendsoftware.com.

Об авторе

Кеннет Р. Фостер - адъюнкт-профессор биоинженерии в Пенсильванском Университете, Филадельфия, бывший президент IEEE Society on Social Implications of Technology. Последняя выпущенная им книга – Judging Science  (MIT Press, 1997). Его e-mail: kfoster@seas.upenn.edu.

Источник: IEEE Spectrum, April 1999
Перевод AM Lab Inc.